▷ İkili, ondalık, sekizli ve onaltılı sistem nedir ve nasıl çalışır

Bilgisayar Bilimi, elektronik veya herhangi bir mühendislik dalında öğrenciyseniz, bilmeniz gereken şeylerden biri numaralandırma sistemi dönüşümleri yapmaktır. Hesaplamada, kullanılan numaralandırma sistemleri, ondalık sistemimiz gibi geleneksel olarak bildiğimiz sistemlerden farklıdır. Bu nedenle, büyük olasılıkla, hem bilgisayar, programlama hem de benzer teknoloji alanına kendimizi adadığımızda, en çok kullanılan sistemleri ve bir sistemden diğerine nasıl dönüştürüleceğini bilmemiz gerekecek.

İçindekiler dizini

Numaralandırma sistemi dönüşümleri nasıl yapılır?

Bir bilgisayarın bileşenlerinin doğrudan çalıştığı numaralandırma sistemi olduğundan, Ondalıktan İkiliye dönüştürme sistemini bilmek veya tersini yapmak özellikle yararlıdır. Ancak, onaltılık sistemi bilmek de çok yararlıdır, çünkü örneğin renk kodlarını, anahtarları ve ekibimizden çok sayıda kodu temsil etmek için kullanılır.

Numaralandırma sistemleri

Bir numaralandırma sistemi, geçerli sayıları oluşturmamıza izin veren bir dizi sembol ve kuralın temsilinden oluşur. Başka bir deyişle, herhangi bir sınır olmadan başka sayısal değerler oluşturmanın mümkün olacağı bir dizi sınırlı sembolün kullanılmasından oluşur.

Matematiksel tanım terimlerine çok fazla girmeden, insanlar ve makineler tarafından en çok kullanılan sistemler aşağıdaki gibi olacaktır:

Ondalık sistem

Miktarların on sayısının aritmetik tabanı ile temsil edildiği konumsal bir numaralandırma sistemidir.

Taban on numara olduğu için, hepimiz bildiğimiz on numarayı kullanarak tüm rakamları inşa edebileceğiz. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Bu sayılar, herhangi bir sayının oluşumunda 10'lu güçlerin konumunu temsil etmek için kullanılacaktır.

Yani, bu numaralandırma sisteminde bir sayıyı şu şekilde temsil edebiliriz:

Ondalık bir sayının, her terimin kapladığı pozisyon-1'e yükseltilen taban 10 tarafından her bir değerin toplamı olduğunu görüyoruz. Diğer numaralandırma sistemlerindeki dönüşümler için bunu aklımızda tutacağız.

İkili Sistem

İkili sistem, aritmetik taban 2'nin kullanıldığı bir numaralandırma sistemidir.Bu sistem, bilgisayar ve dijital sistemler tarafından dahili olarak tüm işlemleri gerçekleştirmek için kullanılan sistemdir.

Bu numaralandırma sistemi sadece 0 ve 1 olmak üzere iki basamakla temsil edilir, bu yüzden 2 (iki basamak) üzerine kuruludur, tüm değer zincirleri oluşturulacaktır.

Sekizli sistem

Önceki açıklamalarda olduğu gibi, bunun sekizli sistemle ilgili ne olduğunu hayal edebiliyoruz. Sekizli sistem, aritmetik tabanın 8 kullanıldığı numaralandırma sistemidir, yani tüm sayıları temsil etmek için 8 farklı basamağa sahip olacağız. Bunlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7.

Onaltılı sistem

Önceki tanımları takiben, ondalık numaralandırma sistemi 16 rakamına dayanan konumsal bir numaralandırma sistemidir. Bu noktada kendimize, 16 farklı numarayı nasıl alacağız, örneğin 10, iki sayının birleşimi ise farklı?

Çok basit, biz onları değil, söz konusu sistemi icat edenler icat ettik. Burada alacağımız sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ve F olacaktır. bu toplam 16 farklı terim ifade eder. Bir rengin sayısal kodunu daha önce ayarladıysanız, bu tür numaralandırmaya sahiptir ve bu nedenle örneğin beyazın FFFFFF değeri olarak nasıl temsil edildiğini göreceksiniz. Daha sonra bunun ne anlama geldiğini göreceğiz.

İkili ve ondalık sistem arasındaki dönüşüm

En temel ve anlaşılması kolay olduğu için, bu iki numaralandırma sistemi arasında dönüşüm yaparak başlayacağız.

Sayıyı ikili sayıdan ondalığa dönüştürme

İlk bölümde gördüğümüz gibi, ondalık bir sayıyı temsil ediyoruz , değerlerin toplamı 10 gücü ile kapladığı konum-1 ile çarpılıyor. Bunu, ilgili tabanı ile herhangi bir ikili sayıya uygularsak, aşağıdakilere sahip olacağız:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Ancak elbette, prosedürü ondalık sistemde olduğu gibi yaparsak, sadece bu numaralandırma sisteminde temsil edebileceğimiz 0 ve 1 dışında değerler elde ederiz.

Ancak tam olarak bu, ondalık sisteme dönüştürme işlemini gerçekleştirmek için çok faydalı olacaktır. Kutusundaki her bir değerin sonucunu hesaplayalım:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Her bir hücreden kaynaklanan bu değerlerin toplamını yaparsak, ikili değerin ondalık eşdeğer değerini elde ederiz.

100110 ondalık değeri 38'dir

Sadece rakamı (0 veya 1) şekilde gösterildiği gibi konum 1'e yükseltilmiş tabanı (2) ile çarpmak zorunda kaldık. Değerleri ekliyoruz ve ondalık sayıya sahip olacağız.

Eğer ikna olmamışsanız, şimdi tam tersi bir işlem gerçekleştireceğiz:

Ondalık sayıyı ikiliye dönüştür

Ondalık bir sayı ve ondalık değeri belirlemek için bir toplam yapmadan önce, şimdi yapmamız gereken ondalık sayıyı dönüştürmek istediğimiz sistemin tabanına, bu durumda 2'ye bölmektir.

Bu prosedürü, daha fazla bölünme yapılması mümkün olana kadar gerçekleştireceğiz. Nasıl yapılacağına dair bir örnek görelim.

sayı	38	19	9	4	2	1
bölme	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
dinlenme	0	1	1	0	0	1

Bu birbirini takip eden bölümleri en aza indirmenin sonucudur. Bunun nasıl çalıştığını daha önce fark etmiş olabilirsiniz. Şimdi her bir bölümün kalanlarını alır ve konumunu tersine çevirirsek, ondalık sayının ikili değerini elde ederiz. Yani, bölümü geriye doğru sonlandırdığımız yerden başladı:

Yani şu sonuca sahibiz: 100110

Gördüğümüz gibi, bölümün başında tam olarak aynı sayıya sahip olduk.

Ondalık ondalık sayıyı ikiliye dönüştürme

Bildiğimiz gibi, sadece tam ondalık sayılar değil, aynı zamanda gerçek sayılar da (kesirler) bulabiliriz. Ve bir numaralandırma sistemi olarak, bir sayıyı ondalık sistemden ikili sisteme dönüştürmek mümkün olmalıdır. Bunu nasıl yapacağımızı görüyoruz. Örnek olarak 38, 375 sayısını ele alalım

Yapmamız gereken her bir parçayı ayırmak. Tam sayı parçasının nasıl hesaplanacağını zaten biliyoruz, bu yüzden doğrudan ondalık kısma gideceğiz.

Prosedür aşağıdaki gibi olacaktır: ondalık kısmı almalı ve sistemin tabanı ile çarpmalıyız, yani 2. Çarpmanın sonucu, 0'ın kesirli bir kısmını elde edene kadar tekrar çarpmamız gerekir. Çarpma işlemi yapılırken bir tamsayı kısmı olan bir kesirli sayı görünürse, yalnızca bir sonraki çarpma için kesri almamız gerekir. Daha iyi anlamak için örneğe bakalım.

sayı	0375	0.75	0.50
çarpma	* 2 = 0, 75	* 2 = 1.50	* 2 = 1.00
Bütün bölüm	0	1	1

Gördüğümüz gibi, ondalık kısmı alıp sonucun her zaman 0 olacağı 1.00'a ulaşana kadar tekrar çoğalıyoruz.

İkili olarak 38.375'in sonucu 100 110.011 olacaktır.

Ancak süreçte asla 1.00 sonucuna ulaşamadığımızda ne olur? 38, 45 ile örneği görelim

sayı	0.45	0.90	0.80	0, 60	0.20	0.40	0.80
çarpma	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1.20	* 2 = 0.40	* 2 = 0.80	* 2 = 1, 60
Bütün bölüm	0	1	1	1	0	0	1

Gördüğümüz gibi , 0.80'den itibaren işlem periyodik hale gelir, yani prosedürü asla bitiremeyiz çünkü 0.8'den 0.4'e kadar olan sayılar her zaman görünecektir. O zaman sonucumuz ondalık sayıya yaklaşmak olacak, ne kadar ileri gidersek, o kadar fazla doğruluk elde edeceğiz.

Yani: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Ters işlemin nasıl yapıldığını görelim

Kesirli ikili sayıdan ondalığa dönüştürme

Bu işlem, normal baz değişikliği ile aynı şekilde gerçekleştirilecektir, ancak virgülden gelen güçler negatif olacaktır. Sadece önceki ikili sayının tamsayı kısmını alalım:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0.125	1 · 2-4 = 0, 0625	1 · 2-5 = 0	1 · 2-6 = 0	1 · 2-7 = 0.0078125	…

Sonuçları eklersek elde edeceğimiz şeyler:

0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0078125 = 0.4453

Operasyonları sürdürmeye devam edersek, 38.45'in tam değerine yaklaştık

Sekizli sistem ve ikili sistem arasındaki dönüşüm

Şimdi ondalık olmayan iki sistem arasında dönüşümün nasıl gerçekleştirileceğini görmeye devam edeceğiz, çünkü bunun için sekizlik sistemi ve ikili sistemi alacağız ve önceki bölümlerde olduğu gibi aynı prosedürü yapacağız.

Sayıları ikiliden sekizliye dönüştür

Her iki numaralandırma sistemi arasındaki dönüşüm çok basittir, çünkü sekizli sistemin tabanı ikili sistemle aynıdır, ancak 3, 2 ³ = 8 gücüne yükseltilir. Buna dayanarak, yapacağımız şey ikili terimleri sağdan sola başlayarak üç kişilik gruplara ayırmak ve doğrudan ondalık sayıya dönüştürmektir. Şimdi 100110 numaralı örneği görelim:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Her üç basamağı gruplandırıyoruz ve ondalığa dönüştürme yapıyoruz. Sonuç 100110 = 46 olacak

Peki ya 3'lük mükemmel gruplarımız yoksa? Örneğin, 1001101, 3'lü iki grubumuz ve 1'den bir tanemiz var, nasıl devam edeceğimizi görelim:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Prosedürün ardından grupları terimin sağından alırız ve sona ulaştığımızda gerektiği kadar sıfır doldururuz. Bu durumda, son grubu tamamlamak için ikiye ihtiyacımız vardı. Yani 1001101 = 115

Sekizlik sayıyı ikiliye dönüştür

Prosedür tersini yapmak kadar basit, yani 3'lü gruplar halinde ikili sayıdan ondalığa gitmek kadar basit.

değer	1	1	5
bölme	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
dinlenme	1	0	0	1	0	0	1	0	1
grup	001	001	101

Bu şekilde 115 = 001001101 veya aynı olanın 115 = 1001101 olduğunu görüyoruz

Sekizli sistem ve ondalık sistem arasındaki dönüşüm

Şimdi, sekizli sayı sisteminden ondalık sayıya ve tam tersi prosedürü nasıl yapacağımızı göreceğiz. Prosedürün ondalık ve ikili sistemdekiyle tamamen aynı olduğunu göreceğiz, sadece tabanı 2 yerine 8 olarak değiştirmeliyiz.

Prosedürleri doğrudan kesirli kısmı olan terimlerle gerçekleştireceğiz.

Ondalık sayıyı sekizlik biçime dönüştür

Ondalık-ikili yöntem prosedürünü takiben 238.32 örneği ile gerçekleştireceğiz:

Bütün bölüm. 8 olan tabana böleriz:

sayı	238	29	3
bölme	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
dinlenme	6	5	3

Ondalık kısım, 8 ile tabanla çarpıyoruz:

sayı	0.32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
çarpma	* 8 = 2.56	* 8 = 4.48	* 8 = 3.84	* 8 = 6.72	* 8 = 5.76	…
Bütün bölüm	2	4	3	6	5	…

Elde edilen sonuç aşağıdaki gibidir: 238.32 = 356.24365…

Sekizlik sayıyı ondalığa dönüştürme

Öyleyse, ters işlemi yapalım. Sekizlik sayı 356, 243'ü ondalığa geçelim:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0.25	4 · 8 -2 = 0.0625	3 · 8 -3 = 0.005893

Sonuç: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

Onaltılı sistem ile ondalık sistem arasındaki dönüşüm

Daha sonra onaltılı sayı sistemi ve ondalık sistem arasındaki dönüştürme işlemi ile bitiriyoruz.

Ondalık sayıyı onaltılık biçime dönüştür

Ondalık-ikili ve ondalık-sekizlik yönteminin prosedürünü takiben 238.32 örneği ile gerçekleştireceğiz:

Bütün bölüm. Baz olan 16'ya bölüyoruz:

sayı	238	14
bölme	÷ 16 = 14	-
dinlenme	E	E

Ondalık kısım, 16 ile tabanla çarpıyoruz:

sayı	0.32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
çarpma	* 16 = 5.12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8.32	…
Bütün bölüm	5	1	E	B	8	…

Elde edilen sonuç aşağıdaki gibidir: 238.32 = EE, 51EB8…

Sayıyı onaltılıktan ondalığa dönüştürme

Öyleyse, ters işlemi yapalım. Onaltılı sayı olan EE, 51E'yi ondalığa geçelim:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0.3125	1 · 16 -2 = 0.003906	E16 -3 = 0.00341

Sonuç: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

Tabii bunlar bir numaralandırma sisteminden diğerine geçmenin ana yolları. Sistem, bilgisayar alanında en çok kullanılanlar olmasına rağmen, herhangi bir taban ve ondalık sistemdeki bir sisteme uygulanabilir.

Ayrıca ilginizi çekebilir:

Herhangi bir sorunuz varsa, yorumlarda bırakın. Size yardım etmeye çalışacağız.